反常积分四个常用公式
反常积分是积分学中的一个重要概念，它是对普通定积分的推广，用于处理含有无穷上限或下限的积分，或者被积函数含有瑕点的积分。以下是四个常用的反常积分公式：
1. 高斯积分公式：
$$I = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-x^2} dx = \\sqrt{\\pi}$$
这个积分也被称为高斯积分，其结果是π的平方根。
2. 积分的平方公式：
$$I^2 = \\left（ \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-x^2} dx \\right） \\left（ \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-y^2} dy \\right） = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-（x^2 + y^2）} dx dy$$
通过极坐标变换，可以进一步计算出该积分的结果为π。
3. 积分的乘法公式：
$$\\left（ \\int_{0}^{+\\infty} \\frac{\\sin bx - \\sin ax}{x} e^{-px} dx \\right） = \\arctan\\frac{b}{p} - \\arctan\\frac{a}{p}$$
这个公式用于计算特定形式的反常积分，其中p > 0，b > a。
4. 积分的万能公式：
对于任意的反常积分，包括瑕积分和无穷区间的反常积分，都可以化为以下形式：
$$\\int_{}^{} \\frac{1}{x^{\\alpha} \\ln^{\\beta} x} dx$$
当x趋近于0时，根据α和β的不同取值，可以判断该积分的敛散性。
这些公式在高等数学和物理学中有着广泛的应用。需要注意的是，反常积分的敛散性判别通常需要根据具体的积分形式来判断，有时可能需要使用比较审敛法、极限比较法等方法。
